Производна на функция е основно понятие в диференциалното смятане, което показва колко бързо се изменя функцията в дадена точка. Геометрично производната е равна на наклона на допирателната към графиката в тази точка. Функция, която има производна, се нарича диференцируема.
Какво е производна?
Производната на функция характеризира скоростта на изменение на функцията. Ако аргументът x се промени съвсем малко, производната показва колко пъти по-силно (или по-слабо) се променя стойността f(x).
Определение чрез граница
Производната на функцията f в точката x0 е границата:
f′(x0) = limh→0 [ f(x0 + h) − f(x0) ] / hАко тази граница съществува и е крайно число, функцията е диференцируема в x0. За граници от едната страна вижте лява и дясна граница на функция.
Геометричен смисъл на производната
Производната на една функция в дадена точка е равна на тангенса от ъгъла, който допирателната към графиката в тази точка сключва с положителната посока на абсцисната ос (оста Ox).
f′(x0) = tg α- f′(x0) > 0: графиката се изкачва (функцията расте).
- f′(x0) < 0: графиката се спуска (функцията намалява).
- f′(x0) = 0: допирателната е хоризонтална.
Физичен смисъл
Ако s(t) е изминатият път за време t, то производната s′(t) е моментната скорост. Затова казваме, че производната измерва скорост на изменение.
Таблица на основните производни
| Функция f(x) | Производна f′(x) |
|---|---|
| c (константа) | 0 |
| x | 1 |
| xn | n·xn−1 |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| ex | ex |
| ln x | 1/x |
Правила за диференциране
- Сбор: (u + v)′ = u′ + v′
- Произведение: (u·v)′ = u′·v + u·v′
- Частно: (u/v)′ = (u′·v − u·v′) / v2, при v ≠ 0
Нека f(x) = x2. По формулата за степен f′(x) = 2x.
В точката x = 3 получаваме f′(3) = 6. Това означава, че допирателната към параболата в тази точка има наклон 6.
- Производна = скорост на изменение.
- Производна = наклон на допирателната (tg α).
- Има производна = диференцируема функция.
Често задавани въпроси
Какво показва производната с прости думи?
Показва колко бързо се променя една величина. Например производната на изминатия път по времето е скоростта.
Кога една функция е диференцируема?
Когато има производна в разглежданата точка, тоест когато границата от определението съществува и е крайно число.
Колко е производната на константа?
Нула. Константата не се изменя, затова скоростта ѝ на изменение е 0.